Matematicas 2

Funciones en dos variables

Dar a conocer lo aprendido en la clase del tema “Funciones en dos variables”

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

En consecuencia, la grafica de una función f de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z). Como el dominio de f es un conjunto de puntos del plano x, y, y puesto que cada par ordenado (x, y) del dominio de f corresponde a solo un valor de z, ninguna recta perpendicular al plano x,y puede intersectar a la grafica de f en mas de un punto.

Ejemplo ilustrativo 1

La función f del ejemplo 1 es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z) tales que

z=v25- x2 -y2

Por tanto, la grafica de f es la semiesfera en el plano x y por arriba de este cuyo centro es el origen y tiene radio 5. Esta semiesfera se muestra en la figura 1.

El deseo de abordar problemas del mundo real, nos conduce a tomar en cuenta que, en general, cualquier situación o fenómeno requiere de más de una variable para su precisa descripción. Por ejemplo, el volumen de un cilindro depende del radio de la base y de su altura; la posición de un móvil en un momento determinado requiere para su exacta especiación, además del tiempo, de las tres coordenadas espaciales. Si adicionalmente se requiere la velocidad a la cual se desplaza, tendremos una función vectorial f que a cada vector de cuatro componentes (ubicación espacial y tiempo) le asigna la velocidad

V del móvil en ese punto y en ese instante:

f(x; y; z; t) = v

Observamos entonces que de acuerdo con la situación especifica que queramos describir, requerimos el tipo de función adecuada. Según si el dominio D y el rango R son subconjuntos de R; R2 o R3 las funciones se clasifican de la siguiente forma:

Función Nombre

En cada caso, donde aparece R3 lo podemos sustituir por R2 y el nombre se conserva.

Las denominaciones escalar o vectorial se refieren a si la imagen de la función es un

numero o es un vector.

Ejemplo: la función g esta definida por

g (x, y, z) = x2+y2-z

entonces el paraboloide circular z= x2+y2, mostrado en la figura, es la superficie de nivel de g en 0. La superficie de nivel de g en el numero k tiene la ecuación z + k = x2 + y2 , un paraboloide circular cuyo vértice es el punto (0,0 –k) sobre el eje z. en al figura muestra las superficies de nivel para k igual a -4,-2, 0, 2 y 4

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