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- 2.3.7 Regla de la potencia
- 2.3.7.2 Integrales que incluyen funciones funcione...
- 2.3.4 integral de en
- 4.3.4 Regla cramer
- 4.3.3 propiedades de los determinantes
- 4.3.2 Expansión de cofactores
- 4.3.1 Definición de una determinante
- 4.2.4 matriz inversa
- 4.2.3 Propiedades de las operaciones matrices
- 4.2.2 operaciones con matrices (suma, diferencia, ...
- 4.2.1 Tipos de matrices cuadradas, rectangulares, ...
- 4.2 Álgebra de matrices
- 4.1.5.5 Sistemas homogéneos
- 4.1.5.4 Reducción de gauss y Gauss- Jordan
- 4.1.5.3 Operaciones elementales sobre renglones
- 4.1.5.2 Expresión matricial de un sistema de ecuac...
- 4.1.5.1 Definición de Matriz
- 4.1.5 Eliminación de Gauss y Gaus - Jordan
- 4.1.4 Sistemas de ecuaciones equivalentes
- 4.1.3 Métodos para resolución de sistemas de ecuac...
- 4.1.2 sistemas de ecuaciones lineales consistentes...
- 4.1.1 Definición
- Modulo 4. sistemas de ecuaciones lineal y matrices
- 3.3 Propiedades de la integral definida
- 3.2 Teorema fundamental del calculo
- 3.1 área bajo la curva
- 3.4 Área entre 1 y 2 curvas.
- Modulo 3 Integral definida
- 2.3.11 integrales por partes
- 2.3.10 integrales que incluyen au
- 2.3.9 integrales que las (1/u) a u
- 2.3.8 integrales que incluyen funciones logarítmicas
- 2.3.7.1 Integrales que incluyen u(n)
- 2.3.6 integral de una suma (diferencia) de funciones
- 2.3.5 integral de una constaste por una función de x
- 2.3.3 Integral xn
- 2.3.2 Integral de una constante por una variable
- 2.3.1 Integral indefinida de una constante
- 2.3 Formulas básicas de integración
- 2.2.1 Integración con condiciones iniciales
- 2.2 integral definida
- 2.1 Antiderivada
- Modulo 2 Integración
- 1.3 Máximos y mínimos de funciones de 2 variables.
- 1.2 Derivadas parciales.
- 1.1 Funciones en dos variables
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- 4.1.1 Definición
- Modulo 4. sistemas de ecuaciones lineal y matrices
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- 3.2 Teorema fundamental del calculo
- 3.1 área bajo la curva
- 3.4 Área entre 1 y 2 curvas.
- Modulo 3 Integral definida
- 2.3.11 integrales por partes
- 2.3.10 integrales que incluyen au
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- 2.3.1 Integral indefinida de una constante
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- 2.2 integral definida
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- 4.2.3 Propiedades de las operaciones matrices
jason
On martes, 25 de noviembre de 2014
Propiedades de las operaciones matrices
Dar a conocer lo aprendido en la clase
del tema "Propiedades de las operaciones matrices"
Operaciones con matrices
Álgebra/Álgebra Lineal/Operaciones con matrices
Las
matrices son objetos matemáticos que no se interrelacionan como los
números o las funciones, ya que carecen de algunas de la propiedades
usuales de éstos objetos anteriores. Sin embargo, poseen otras muy
interesantes, que veremos en el siguiete punto: la aritmética de matrices.
Es importante notar que la suma de matrices solo está definida para matrices que poseen el mismo orden.
y lo denotamos por .
Para operar, es útil seguir el método consistente en ir sumando los productos de la fila del primer factor y la columna del segundo que determinan la posición del elemento a dilucidar, siguiendo el gráfico de la imagen.
Proposición 3. Las matrices con coeficientes en un cuerpo K tienen estructura de anillo no conmutativo.
Demostración. La estructura de anillo es evidente desde la definición del producto de matrices. Para ver que no es conmutativo, consideramos el siguiente contraejemlo: considérense las matrices A y B siendo
Se puede comprobar que se verifica entonces:
Cabe decir, no obstante, que la no conmutatividad de los anillos de matrices solo se verifica si la dimensión de éstas es mayor que 1, ya que en ese caso nos encontramos con el propio cuerpo K. A continuación estudiamos las principales propiedades del producto de matrices.
Contenido
Suma de matrices
Sean con coeficientes respectivamente. Definimos la matriz suma como:Es importante notar que la suma de matrices solo está definida para matrices que poseen el mismo orden.
Propiedades de la suma de matrices
es un grupo abeliano. Id est, verifica las siguientes propiedades:- Asociatividad: A + (B + C) = (A + B) + C para cualesquiera .
- Conmutatividad: A + B = B + A para cualesquiera .
- Elemento Neutro: la matriz formada enteramente por ceros, que en ocasiónes denotaremos como matriz 0, verifica que A + 0 = A para cualquier .
- Elemento simétrico: para cualquier , existe que verifica A + (- A) = 0.
Producto entre matrices y escalares
Sea una matriz y un escalar . Definimos el producto entre A y α como la matrizy lo denotamos por .
Propiedades del producto entre matrices y escalares
A continuación detallamos las propiedades del producto entre matrices y escalares:- Distributiva con respecto a la suma de escalares: (α + β) A = αA + βA para cualesquiera , .
- Distributiva con respecto a la suma de matrices: α(A + B) = αA + αB para cualesquiera , .
- Pseudoasociatividad: ( αβ ) A = α ( βA ) para cualesquiera , .
- Elemento neutro: para cualquier , se verifica 1A = A.
Producto de Matrices
Dadas dos matrices , definimos la matriz producto como la Matriz C cuyos elementos ci,j están definidos por:Para operar, es útil seguir el método consistente en ir sumando los productos de la fila del primer factor y la columna del segundo que determinan la posición del elemento a dilucidar, siguiendo el gráfico de la imagen.
Proposición 3. Las matrices con coeficientes en un cuerpo K tienen estructura de anillo no conmutativo.
Demostración. La estructura de anillo es evidente desde la definición del producto de matrices. Para ver que no es conmutativo, consideramos el siguiente contraejemlo: considérense las matrices A y B siendo
Se puede comprobar que se verifica entonces:
Cabe decir, no obstante, que la no conmutatividad de los anillos de matrices solo se verifica si la dimensión de éstas es mayor que 1, ya que en ese caso nos encontramos con el propio cuerpo K. A continuación estudiamos las principales propiedades del producto de matrices.
Propiedades del producto de matrices
- Asociatividad respecto de escalares: α (A B) = (α A) B para cualesquiera , .
- Asociatividad respecto de matrices: A (B C) = (A B) C para cualesquiera .
- Distributiva por la derecha: (A + B) C = A C + B C para cualesquiera .
- Distributiva por la izquierda: A (B + C) = A B + A C para cualesquiera .
- Elemento neutro: para cualquier , se verifica IA = A, siendo I la matriz identidad.